Question

8．已知AD與BC是四面體ABCD中相互垂直的棱，若AD=BC=6，且∠ABD=∠ACD=60°，則四面體ABCD的體積的最大值是（　　）

• A． $18\sqrt{2}$
• B． $36\sqrt{2}$
• C． 18
• D． 36

Answer 1

分析 作CF⊥AD于F，連接CF，取BC中點(diǎn)E，推出四面體ABCD的體積的最大值，當(dāng)△ABD是等腰三角形時(shí)幾何體的體積最大，求解即可．

解答 解：過(guò)C作CF⊥AD，垂足為F，連接BF，
∵BC⊥AD，CF⊥AD，BC∩CF=C，
∴AD⊥平面BCF，
∴V_A-BCD=$\frac{1}{3}$S_△BCF•AD=2S_△BCF．
又∠ACD=∠ABD，AD⊥平面BCF，
∴△ACD≌△ABD，∴CF=BF，
取BC的中點(diǎn)E，則EF⊥BC，
∴2S_△ADE=2×$\frac{1}{2}$×BC×EF=6EF，
∴當(dāng)EF最大時(shí)，棱錐的體積取得最大值．
又EF=$\sqrt{C{F}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{C{F}^{2}-9}$，故當(dāng)CF最大時(shí)，棱錐體積最大，
∵∠ACD=60°，AD=6，∴當(dāng)AC=CD時(shí)，CF取得最大值，
此時(shí)CF=$\sqrt{27}$=3$\sqrt{3}$，∴EF=3$\sqrt{2}$
∴棱錐的體積最大值為6EF=18$\sqrt{2}$．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積，考查空間想象能力，邏輯推理能力以及計(jì)算能力，屬于中檔題．