Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax²+bx+1在x=-1處取得極大值，在x=3處取極小值．
（Ⅰ）求f（x）的解析式并指出其單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）討論方程f（x）=k的實(shí)根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，由條件可知f′（x）=0的兩根分別為x=-1或x=3，運(yùn)用韋達(dá)定理，求得a，b，進(jìn)而得到f（x）的解析式，求出單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出極值，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作y=f（x）和y=k的大致圖象，通過圖象觀察交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到實(shí)根的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知f′（x）=x²+2ax+b，f′（x）=0的兩根分別為x=-1或x=3．
則有

-1+3=-2a -1×3=b

，解得，a=-1，b=-3．
則f（x）=

1

3

x³-x²-3x+1，
由題意知函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（3，+∞），
遞減區(qū)間為（-1，3）．
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的分析知，函數(shù)f（x）的極大值為f（-1）=

8

3

，
極小值為f（3）=-8．
在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作y=f（x）和y=k的大致圖象．
則當(dāng)k=

8

3

或k=-8時(shí)，原方程有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)k＜-8或k＞

8

3

時(shí)，原方程有且僅有一個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
當(dāng)-8＜k＜

8

3

時(shí)，原方程有且僅有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和求極值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．