【題目】已知函數(shù)(其中是自然對數(shù)的底數(shù), =2.71828…).

(1)當(dāng)時,過點作曲線的切線,求的方程;

(2)當(dāng)時,求證;

(3)求證:對任意正整數(shù),都有

【答案】(1)(2)0≤a≤1(3)見解析

【解析】

(1)將 代入,設(shè)出切點坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,由點斜式寫出切線方程,再結(jié)合切線過點,即可求得切線方程;

(2)只要求出函數(shù)的最小值,證明函數(shù)的最小值大于等于0即可;
(3)由函數(shù)的最小值,構(gòu)造不等式,令,得出關(guān)于正整數(shù)n的不等式 ,運用累加法即可證明.

1∵當(dāng)時, ,則,
設(shè)切點 , ,
由點斜式,可得切線方程為

又切線過點,則, ,
∴切線方程為;;

(2)解:由f(x)=ex-ax-a,f′(x)=ex-a

①當(dāng)a=0時,f(x)=ex≥0恒成立,滿足條件,

②當(dāng)0<a≤1時,由f′(x)=0,得x=ln a,

則當(dāng)x∈(-∞,ln a)時,f′(x)<0,當(dāng)x∈(ln a,+∞)時,f′(x)>0,

所以函數(shù)f(x)在(-∞,ln a)上單調(diào)遞減,在(ln a,+∞)上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)f(x)在x=ln a處取得極小值即為最小值,

f(x)min=f(ln a)=eln a-aln a-a=-aln a.

因為0<a≤1,所以ln a≤0,所以-aln a≥0,

所以f(x)min≥0,

所以綜上得,當(dāng)0≤a≤1時,f(x)≥0;

(3)證明:由(2)知,當(dāng)a=1時,f(x)≥0恒成立,

所以f(x)=ex-x-1≥0恒成立,

即ex≥x+1,所以ln (x+1)≤x,令,

,

所以ln (1+)+ln (1+)+…+ln (1+)≤++…+==1-()n<1,

所以(1+)(1+)…(1+)<e.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率為,其中左焦點(-2,0).

1) 求橢圓C的方程;

2) 若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點A,B,且線段AB的中點M在圓x2+y2=1上,求m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】2017101日,為慶祝中華人民共和國成立68周年,來自北京大學(xué)和清華大學(xué)的6名大學(xué)生志愿者被隨機(jī)平均分配到天安門廣場運送礦泉水、打掃衛(wèi)生、維持秩序這三個崗位服務(wù),且運送礦泉水崗位至少有1名北京大學(xué)志愿者的概率是.

(1)求打掃衛(wèi)生崗位恰好有北京大學(xué)、清華大學(xué)志愿者各1名的概率;

(2)設(shè)隨機(jī)變量ξ為在維持秩序崗位服務(wù)的北京大學(xué)志愿者的人數(shù),求ξ的分布列和均值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué),4名女同學(xué).在這10名同學(xué)中,3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院,其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院.現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機(jī)選取3名同學(xué),到希望小學(xué)進(jìn)行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同).

1)求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率;

2)設(shè)為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】假設(shè)關(guān)于某種設(shè)備的使用年限 ()與所支出的維修費用 (萬元)有如下統(tǒng)計資料:

x

2

3

4

5

6

y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

已知, .

(1),

(2) 具有線性相關(guān)關(guān)系,求出線性回歸方程;

(3)估計使用年限為10年時,維修費用約是多少?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若對于任意(x1 , y1)∈M,存在(x2 , y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,則稱集合M是“垂直對點集”.給出下列四個集合:
①M={ };
②M={(x,y)|y=sinx+1};
③M={(x,y)|y=log2x};
④M={(x,y)|y=ex﹣2}.
其中是“垂直對點集”的序號是(
A.①②
B.②③
C.①④
D.②④

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】一則“清華大學(xué)要求從 2017級學(xué)生開始,游泳達(dá)到一定標(biāo)準(zhǔn)才能畢業(yè)”的消息在體育界和教育界引起了巨大反響.其實,已有不少高校將游泳列為必修內(nèi)容.

某中學(xué)擬在高一-下學(xué)期開設(shè)游泳選修課,為了了解高--學(xué)生喜歡游泳是否與性別有關(guān),該學(xué)校對100名高一新生進(jìn)行了問卷調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:

喜歡游泳

不喜歡游泳

合計

男生

40

女生

30

合計

已知在這100人中隨機(jī)抽取1人,抽到喜歡游泳的學(xué)生的概率為.

(1).請將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否可以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為喜歡游泳與性別有關(guān).

(2)已知在被調(diào)查的學(xué)生中有6名來自高一(1) 班,其中4名喜歡游泳,現(xiàn)從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求恰有1人喜歡游泳的概率.

附:

0.10

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

/td>

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在如圖的表格中,每格填上一個數(shù)字后,使每一橫行成等差數(shù)列,每一縱列成等比數(shù)列,則abc的值為(  )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下列命題中錯誤的個數(shù)為:(

的圖像關(guān)于點對稱;②的圖像關(guān)于點對稱;

的圖像關(guān)于直線對稱;④的圖像關(guān)于直線對稱。

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

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