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6.已知拋物線E:y2=4x的準線為l,焦點為F,O為坐標原點.
(1)求過點O,F(xiàn),且與l相切的圓的方程;
(2)過F的直線交拋物線E于A,B兩點,A關于x軸的對稱點為A′,求證:直線A′B過定點.

分析 (1)由題意求得焦點及準線方程,即可求得圓心,利用點到直線的距離公式,即可求得半徑,即可求得圓的方程;
(2)方法一:設直線AB方程為y=k(x-1),代入橢圓方程,利用韋達定理,求得直線BA′的方程為,當y=0,求得x=-1,則直線BA′過定點(-1,0);
方法二:設直線AB方程為y=k(x-1),代入橢圓方程,利用韋達定理求得kA′M-kBM=0,則kA′M=kBM=0,A′、B、M三點共線,則直線BA′過定點(-1,0);
方法三:設直線AB的方程:x=my+1,求得直線BA′的方程為,利用韋達定理可得y=4y2y1x+1,則直線BA′過定點(-1,0).

解答 解:(1)拋物線E:y2=4x的準線l的方程為:x=-1,焦點坐標為F(1,0),
設所求圓的圓心C(a,b),半徑為r,∵圓C過O,F(xiàn),
a=12,∵圓C與直線l:x=-1相切,
r=121=32
r=|CO|=122+b2=32,得b=±2
∴過O,F(xiàn),且與直線l相切的圓的方程為x122+y±22=94;
(2)證明:解法一:依題意知直線AB的斜率存在,設直線AB方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),(x1≠x2),A′(x1,-y1),
聯(lián)立{y=kx1y2=4x,消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.
x1+x2=2k2+4k2,x1•x2=1.
∵直線BA′的方程為yy2=y2+y1x2x1xx2
∴令y=0,得x=x2y1+x1y2y1+y2=x2kx21+x1kx21kx11+kx21=2x1x2x1+x22+x1+x2=1
直線BA′過定點(-1,0),
解法二:直線BA′過定點M(-1,0).
證明:依題意知直線AB的斜率存在,設直線AB方程為y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),(x1≠x2),A′(x1,-y1),
聯(lián)立{y=kx1y2=4x,消去y得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
x1+x2=2k2+4k2,x1•x2=1.
kAMkBM=y1x1+1y2x2+1=x2y1+x1y2+y1+y2x1+1x2+1,
∵x2y1+x1y2+y1+y2=k(x1-1)x2+k(x2-1)x1+k(x1+x2-2)=2kx1x2-2k=2k•1-2k=0.
∴kA′M-kBM=0,即kA′M=kBM=0,A′、B、M三點共線,
∴直線BA′過定點(-1,0).
解法三:設直線AB的方程:x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2),則A′(x1,-y1).
{y=kx1y2=4x得,y2-4my-4=0.
∴y1+y2=4m,y1•y2=-4.
kBA=y2+y1x2x1=y2+y1y224y124=4y2y1
∴直線BA′的方程為yy2=y2+y1x2x1xx2
y=4y2y1xx2+y2=4y2y1x+y24x2y2y1=4y2y1x+y22y1y24x2y2y1=4y2y1x+4y2y1=4y2y1x+1
∴直線BA′過定點(-1,0).

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì),直線與拋物線的位置關系,考查韋達定理,直線的斜率公式,考查計算能力,屬于中檔題.

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