Question

若直線y=kx-2與曲線y=2-

4-x2

有兩個公共點，則實數(shù)k的取值范圍

 

．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：先將曲線進(jìn)行化簡得到一個圓心是（0，2）的下半圓，直線y=kx-2表示過定點（0，2）的直線，利用直線與圓的位置關(guān)系可以求實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：因為y=2-

4-x2

，所以x²+（y-2）²=4，此時表示為圓心M（0，2），半徑r=2的圓．
因為x∈[-2，2]，y=2-

4-x2

≤2，所以表示為圓的下部分．
直線y=kx-2表示過定點D（0，-2）的直線，
當(dāng)直線與圓相切時，有圓心到直線kx-y-2=0的距離d=

|4|

1+k2

=2，解得k=±

3

．
當(dāng)直線經(jīng)過點B（2，2）時，直線DB的斜率為k=

-2-2

0-2

=2．
當(dāng)直線經(jīng)過點A（-2，2）時，直線DB的斜率為k=

-2-2

0-(-2)

=

-4

2

=-2．
所以要使直線與曲線有兩個不同的公共點，則必有-2≤k＜-

3

或

3

＜k≤2．
即實數(shù)k的取值范圍是-2≤k＜-

3

或

3

＜k≤2．
故答案為：-2≤k＜-

3

或

3

＜k≤2．

點評：本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用以及直線的斜率和距離公式．利用數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．同時要注意曲線化簡之后是個半圓，而不是整圓，這點要注意，防止出錯．