Question

13．已知函數(shù)f（x）=x-e${\;}^{\frac{x}{a}}$（a＞0）有兩個(gè)相異零點(diǎn)x₁、x₂，且x₁＜x₂，求證：$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜$\frac{e}{a}$．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再由已知可得a＞e，進(jìn)一步得到x₁＜a＜alna＜x₂，然后利用放縮法證得$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＜$\frac{e}{a}$．

解答 證明：f′（x）=1-$\frac{1}{a}{e}^{\frac{x}{a}}$，
由f′（x）＞0，得x＜alna，由f′（x）＜0，得x＞alna，
∴f（x）在（-∞，alna）上單調(diào)遞增，在（alna，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（x）在x=alna處取得極大值，且為最大值等于f（alna）=alna-a．
由函數(shù)f（x）=x-e${\;}^{\frac{x}{a}}$（a＞0）有兩個(gè)相異零點(diǎn)x₁、x₂，可得alna-a＞0，
即a＞e．
∵f（a）=a-e＞0，
∴x₁＜a＜alna＜x₂，
∴${x}_{2}-{x}_{1}＞alna-a=-aln\frac{e}{a}$，
即${x}_{1}-{x}_{2}＜aln\frac{e}{a}$，
則$\frac{1}{a}（{x}_{1}-{x}_{2}）$$＜ln\frac{e}{a}$，
∵${x}_{1}={e}^{\frac{{x}_{1}}{a}}$，${x}_{2}={e}^{\frac{{x}_{2}}{a}}$，
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=\frac{{e}^{\frac{{x}_{1}}{a}}}{{e}^{\frac{{x}^{2}}{a}}}={e}^{\frac{1}{a}（{x}_{1}-{x}_{2}）}$$＜{e}^{ln\frac{e}{a}}=\frac{e}{a}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值與最小值中的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，考查邏輯思維能力與推理運(yùn)算能力，是中檔題．