Question

16．已知等比數(shù)列{a_n}滿足a₂a₅=2a₃，且a₄，$\frac{5}{4}$，2a₇成等差數(shù)列，則a₁a₂a₃…a_n的最大值為1024．

Answer 1

分析 利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式和等差數(shù)列定義列出方程組，求出首項(xiàng)和公比，從而得到${a}_{n}=16×（\frac{1}{2}）^{n-1}={2}^{5-n}$，進(jìn)而a₁a₂a₃…a_n=2^{4+3+2+1+…+（5-n）}=${2}^{\frac{-{n}^{2}+9n}{2}}$，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵等比數(shù)列{a_n}滿足a₂a₅=2a₃，且a₄，$\frac{5}{4}$，2a₇成等差數(shù)列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q{a}_{1}{q}^{4}=2{a}_{1}{q}^{2}}\\{{a}_{1}{q}^{3}+2{a}_{1}{q}^{6}=2×\frac{5}{4}}\end{array}\right.$，
解得${a}_{1}=16，q=\frac{1}{2}$，
∴${a}_{n}=16×（\frac{1}{2}）^{n-1}={2}^{5-n}$，
∴a₁a₂a₃…a_n=2^{4+3+2+1+…+（5-n）}=${2}^{\frac{-{n}^{2}+9n}{2}}$，
∴當(dāng)n=4或n=5時(shí)，
a₁a₂a₃…a_n取最大值，且最大值為2¹⁰=1024．
故答案為：1024．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．