Question

13．（Ⅰ）二項(xiàng)式${（\sqrt{x}+\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}（{n∈{N^*}}）$的前三項(xiàng)的系數(shù)的和為129，寫(xiě)此展開(kāi)式中所有有理項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（Ⅱ）已知${（3x-1）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$，求下列各式的值．
（1）a₀；
（2）a₁+a₂+a₃+…+a₇；
（3）a₁+a₃+a₅+a₇；
（4）a₀+a₂+a₄+a₆；
（5）|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₇|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知條件求得n的值，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，可得展開(kāi)式中所有有理項(xiàng)和二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．
（Ⅱ）對(duì)于${（3x-1）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$，分別給x賦值，可得要求式子的值．

解答 解：（Ⅰ）∵二項(xiàng)式${（\sqrt{x}+\frac{2}{{\root{3}{x}}}）^n}（{n∈{N^*}}）$的前三項(xiàng)的系數(shù)的和為129，
∴${C}_{n}^{0}$+${C}_{n}^{1}$•2+${C}_{n}^{2}$•2²=129，求得n=8，故展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)_r+1=${C}_{8}^{r}$•2^r•${x}^{4-\frac{5r}{6}}$，
令4-$\frac{5r}{6}$為整數(shù)，可得r=0，6，故此展開(kāi)式中所有有理項(xiàng)為：T₁=x⁴，T₇=${C}_{8}^{6}$•x^-1．
二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)₅=${C}_{8}^{4}$•${x}^{\frac{2}{3}}$．
（Ⅱ）∵已知${（3x-1）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$，
（1）在已知${（3x-1）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$中，令x=0，可得a₀=-1．
（2）在已知${（3x-1）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$中，
令x=1可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₇ =2⁷=128  ①，∴a₁+a₂+a₃+…+a₇ =2⁷+1=129．
（3）在已知${（3x-1）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$中，令x=-1，可得a₀-a₁+a₂-a₃+…-a₇ =-4⁷ ②，
把①式減去②式，并除以2，可得 a₁+a₃+a₅+a₇ =$\frac{128{+4}^{7}}{2}$．
（4）把①式加上②式，并除以2，可得a₀+a₂+a₄+a₆=$\frac{128{-4}^{7}}{2}$．
（5）根據(jù)${（3x-1）^7}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_7}{x^7}$，可得|a₀|+|a₁|+|a₂|+…+|a₇|即為（3x+1）⁷的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和，為4⁷．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，注意根據(jù)題意，分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過(guò)給二項(xiàng)式的x賦值，求展開(kāi)式的系數(shù)和，可以簡(jiǎn)便的求出答案，屬于基礎(chǔ)題．