Question

5．已知函數(shù)$f（x）={x^3}-3{x^2}+2，g（x）=\left\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{x}\;\;\;x＞0\\-{x^2}-4x-2\;\;\;x≤0\end{array}\right.$，則方程g[f（x）]-a=0（a＞0）的根的個數(shù)不可能為（　�。�

• A． 6個
• B． 5個
• C． 4個
• D． 3個

Answer 1

分析 由已知中函數(shù)的解析式，我們易求出f（x）與y=a的交點情況為：當(dāng)a＞2時，有一個交點；當(dāng)a=2時，有兩個交點；當(dāng)0＜a＜2時，有三個交點；g（x）與y=a的交點情況為：當(dāng)a＞2時，有2個交點；當(dāng)a=2時，有2個交點；當(dāng)0＜a＜2時，有2個交點．分類討論后，即可得到方程g[f（x）]-a=0（a為正實數(shù)）的根的個數(shù)所有的情況，進(jìn)而得到答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=x³-3x²+2，
畫出函數(shù)f（x）的圖象，如圖示：

我們易求出f（x）與y=a的交點情況為：
當(dāng)a＞2時，有一個交點；當(dāng)a=2時，有兩個交點；當(dāng)0＜a＜2時，有三個交點；
畫出函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{x}，（x＞0）}\\{-{x}^{2}-4x-2，（x≤0）}\end{array}\right.$的圖象，如圖示：

我們易求出g（x）與y=a的交點情況為：
當(dāng)a＞2時，有2個交點；
當(dāng)a=2時，有2個交點；
當(dāng)0＜a＜2時，有2個交點；
∴方程g[f（x）]-a=0（a為正實數(shù)）的根的個數(shù)可能為：
4個，5個，6個，
不可能為3個，
故選：D．

點評 本題考查的知識點是根的存在性及根的個數(shù)判斷，其中分析內(nèi)外函數(shù)的圖象是解答本題的關(guān)鍵，屬于難題．