Question

13．兩圓C₁：x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0（圓心C₁，半徑r₁）與C₂：x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0（圓心C₂，半徑r₂）不是同心圓，方程相減（消去二次項）得到的直線l：（D₁-D₂）x+（E₁-E₂）y+（F₁-F₂）=0叫做圓C₁與圓C₂的根軸．
（1）求證：當(dāng)C₁與C₂相交于A，B兩點時，AB所在的直線為根軸l；
（2）對根軸上任意的點P，求證：|PC₁|²-r₁²=|PC₂|²-r₂²；
（3）設(shè)根軸l與C₁C₂交于點H，|C₁C₂|=d，求證：H分$\overrightarrow{{C_1}{C_2}}$的比λ=$\frac{{{d^2}+{r_1}^2-{r_2}^2}}{{{d^2}-{r_1}^2+{r_2}^2}}$．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)C₁與C₂相交于A，B兩點時，兩圓的方程作差可得公共弦AB所在的直線方程，即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理可得：|PC₁|²-r₁²=|PA||PB|，|PC₂|²-r₂²=|PA||PB|，即可證明結(jié)論；
（3）設(shè)C₁到根軸l的距離為d₁，C₂到根軸l的距離為d₂，則r₁²-d₁²=r₂²-d₂²，r₁²-r₂²=d₁²-d₂²，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（1）當(dāng)C₁與C₂相交于A，B兩點時，兩圓的方程作差可得
（D₁-D₂）x+（E₁-E₂）y+（F₁-F₂）=0，
∴公共弦AB所在的直線方程為：（D₁-D₂）x+（E₁-E₂）y+（F₁-F₂）=0，即當(dāng)C₁與C₂相交于A，B兩點時，AB所在的直線為根軸l；
（2）根據(jù)勾股定理可得：|PC₁|²-r₁²=|PA||PB|，|PC₂|²-r₂²=|PA||PB|，
∴|PC₁|²-r₁²=|PC₂|²-r₂²；
（3）設(shè)C₁到根軸l的距離為d₁，C₂到根軸l的距離為d₂，則r₁²-d₁²=r₂²-d₂²，
∴r₁²-r₂²=d₁²-d₂²，
∴$\frac{{{d^2}+{r_1}^2-{r_2}^2}}{{{d^2}-{r_1}^2+{r_2}^2}}$=$\frac{ago2eag^{2}+d（4oi6uey_{1}-yiciyq2_{2}）}{kgemw6m^{2}-d（gya8eck_{1}-sauy4e4_{2}）}$=$\frac{moa4csy_{1}}{6qqamyu_{2}}$=λ．
H分$\overrightarrow{{C_1}{C_2}}$的比λ=$\frac{{{d^2}+{r_1}^2-{r_2}^2}}{{{d^2}-{r_1}^2+{r_2}^2}}$．

點評 本題考查圓與圓的位置關(guān)系，考查切割線定理、勾股定理的運用，屬于中檔題．