Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{{n}^{2}+3n}{4}$，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=（n+1）4${\;}^{{a}_{n}}$-$\frac{1}{4{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時(shí)，利用a_n=S_n-S_n-1，然后驗(yàn)證首項(xiàng)；
（2）利用1的結(jié)論得到數(shù)列{b_n} 通項(xiàng)公式，根據(jù)公式特點(diǎn)分別利用錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)求和．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{n}^{2}+3n}{4}$-$\frac{（n-1）^{2}+3（n-1）}{4}$=$\frac{n+1}{2}$
因?yàn)閍₁=1也適合上式，因此，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{n+1}{2}$；      …（5分）
（2）由（1）知，a_n=$\frac{n+1}{2}$，
故b_n=（n+1）4${\;}^{{a}_{n}}$-$\frac{1}{4{a}_{n}{a}_{n+1}}$=（n+1）4${\;}^{\frac{n+1}{2}}$-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$
=（n+1）2ⁿ⁺¹-（$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$），
記A=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+（n+1）2ⁿ⁺¹，
2A=2×2³+3×2⁴+…n×2ⁿ⁺¹+（n+1）2ⁿ⁺²，
兩式相減得到-A=2×2²+2³+2⁴+…2ⁿ⁺¹-（n+1）2ⁿ⁺²=-n2ⁿ⁺²，所以A=n2ⁿ⁺²，
B=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n}{2（n+2）}$，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=$n×{2}^{n+2}+\frac{n}{2（n+2）}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法以及利用裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法對數(shù)列求和；注意掌握兩種求和的通項(xiàng)特征；屬于中檔題．