Question

18．極坐標系與直角坐標系xOy有相同的長度單位，以原點為極點，以x軸正半軸為極軸，曲線C₁的極坐標方程為ρ=4sinθ，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)，0≤α＜π），射線$θ=φ，θ=φ+\frac{π}{4}，θ=φ-\frac{π}{4}$與曲線C₁交于（不包括極點O）三點A，B，C．
（1）求證：$|{OB}|+|{OC}|=\sqrt{2}|{OA}|$；
（2）當$φ=\frac{5π}{12}$時，B，C兩點在曲線C₂上，求m與α的值．

Answer 1

分析 （1）依題意|OA|=4sinφ，$|{OB}|=4sin（{φ+\frac{π}{4}}），|{OC}|=4sin（{φ-\frac{π}{4}}）$，利用三角恒等變換化簡|OB|+|OC|為$4\sqrt{2}sinφ=\sqrt{2}|{OA}|$，命題得證．
（2）當$φ=\frac{5π}{12}$時，B，C兩點的極坐標分別為$（{2\sqrt{3}，\frac{2π}{3}}），（{2，\frac{π}{6}}）$，再把它們化為直角坐標，根據(jù)C₂是經(jīng)過點（m，0），傾斜角為α的直線，又經(jīng)過點B，C的直線方程為$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+2$，由此可得m及直線的斜率，從而求得α的值．

解答 （1）證明：依題意|OA|=4sinφ，$|{OB}|=4sin（{φ+\frac{π}{4}}），|{OC}|=4sin（{φ-\frac{π}{4}}）$，
則$|{OB}|+|{OC}|=4sin（{φ+\frac{π}{4}}）+4sin（{φ-\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}（{sinφ+cosφ}）+2\sqrt{2}（{sinφ-cosφ}）$=$4\sqrt{2}sinφ=\sqrt{2}|{OA}|$；
（2）解：當$φ=\frac{5π}{12}$時，B，C兩點的極坐標分別為$（{2\sqrt{3}，\frac{2π}{3}}），（{2，\frac{π}{6}}）$，
化為直角坐標為$B（{-\sqrt{3}，3}），C（{\sqrt{3}，1}）$，
曲線C₂是經(jīng)過點（m，0），且傾斜角為α的直線，又因為經(jīng)過點B，C的直線方程為$y=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+2$，
所以$m=2\sqrt{3}，α=\frac{5π}{6}$．

點評 本題主要考查把參數(shù)方程化為直角坐標方程，把點的極坐標化為直角坐標，直線的傾斜角和斜率，屬于中檔題．