Question

20．已知函數(shù)f（x）=x+xlnx，若k∈Z，且k（x-1）＜f（x）對(duì)任意的x＞1恒成立，則k的最大值為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為k＜$\frac{xlnx+x}{x-1}$在x＞1上恒成立，令h（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$，求出最小值即可．

解答 解：由k（x-1）＜f（x）對(duì)任意的x＞1恒成立，
得：k＜$\frac{xlnx+x}{x-1}$，（x＞1），
令h（x）=$\frac{xlnx+x}{x-1}$，（x＞1），則h′（x）=$\frac{x-lnx-2}{（x-1）^{2}}$，
令g（x）=x-lnx-2=0，得：x-2=lnx，
畫(huà)出函數(shù)y=x-2，y=lnx的圖象，如圖示：
∴g（x）存在唯一的零點(diǎn)，
又g（3）=1-ln3＜0，g（4）=2-ln4=2（1-ln2）＞0，
∴零點(diǎn)屬于（3，4）；
∴h（x）在（1，x₀）遞減，在（x₀，+∞）遞增，
而3＜h（3）=$\frac{3ln3+3}{2}$＜4，$\frac{8}{3}$＜h（4）=$\frac{4ln4+4}{3}$＜4，
∴h（x₀）＜4，k∈Z，
∴k的最大值是3．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．