Question

12．點O、I、H、G分別為△ABC（非直角三角形）的外心、內心、垂心和重心，給出下列關系式
①$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$；
②sin2A•$\overrightarrow{OA}$+sin2B•$\overrightarrow{OB}$+sin2C•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$；
③a$\overrightarrow{IA}$+b$\overrightarrow{IB}$+c$\overrightarrow{IC}$=$\overrightarrow{0}$；
④tanA•$\overrightarrow{HA}$+tanB•$\overrightarrow{HB}$+tanC•$\overrightarrow{HC}$=$\overrightarrow{0}$．
其中一定正確的個數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)三角形（非直角三角形）的外心、內心、垂心和重心的向量表示與運算性質，對選項中的命題逐一進行分析、判斷正誤即可．

解答 解：對于①，點G是△ABC的重心，如圖①所示，

所以$\overrightarrow{AG}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
同理$\overrightarrow{BG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$），$\overrightarrow{CG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CA}$），
∴$\overrightarrow{AG}$+$\overrightarrow{BG}$+$\overrightarrow{CG}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CA}$）=$\overrightarrow{0}$，
所以$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$=$\overrightarrow{0}$，命題正確；
對于②，點O是△ABC的外心，如圖②所示，

OA=OB=OC，
所以S_△BOC：S_△AOC：S_△AOB═sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin2A：sin2B：sin2C，
所以sin2A•$\overrightarrow{OA}$+sin2B•$\overrightarrow{OB}$+sin2C•$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，命題正確；
對于③，點I是△ABC的內心，如圖所示，

所以S_△BIC：S_△AIC：S_△AIB=a：b：c，所以a$\overrightarrow{IA}$+b$\overrightarrow{IB}$+c$\overrightarrow{IC}$=$\overrightarrow{0}$，命題正確；
對于④，點H是△ABC（非直角三角形）的垂心，如圖所示，

所以S_△BHC：S_△AHC：S_△ANB=tanA：tanB：tanC，
所以tanA•$\overrightarrow{HA}$+tanB•$\overrightarrow{HB}$+tanC•$\overrightarrow{HC}$=$\overrightarrow{0}$，命題正確．
綜上，以上正確的命題有4個．
故選：D．

點評 本題考查了非直角三角形的外心、內心、垂心和重心的向量表示與性質的應用問題，是綜合性題目．