Question

10．如圖，AA₁、BB₁為圓柱OO₁的母線，BC是底面圓O的直徑，D、E分別是AA₁、CB₁的中點，BA=2，AC=1，B₁C=3
（1）證明：DE∥平面ABC；
（2）求圓柱OO₁的體積和表面積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)EO、OA，由圓柱的性質(zhì)得四邊形AA₁B₁B是平行四邊形，所以DA∥BB₁且DA=$\frac{1}{2}$BB₁．△B₁BC中利用中位線定理，得到EO∥BB₁且EO=$\frac{1}{2}$BB₁，從而證出四邊形AOED是平行四邊形，得DE∥OA，結(jié)合線面平行的判定定理即可證出DE∥面ABC；
（2）根據(jù)BA=2，AC=1，B₁C=3，BC是底面圓O的直徑，求出BC=$\sqrt{5}$，B₁B=2，即可求圓柱OO₁的體積和表面積．

解答 （1）證明：連結(jié)EO、OA，
∵E、O分別為B₁C、BC的中點，∴EO∥BB₁，EO=$\frac{1}{2}$BB₁
又∵AA₁、BB₁為圓柱OO₁的母線，
∴AA₁∥BB₁、AA₁=BB₁，可得四邊形AA₁B₁B是平行四邊形，
∵平行四邊形AA₁B₁B中，DA∥BB₁，DA=$\frac{1}{2}$BB₁，
∴DA∥EO，且DA=EO
四邊形AOED是平行四邊形，可得DE∥OA
∵DE?面ABC，OA?面ABC，∴DE∥面ABC；…（4分）
（2）解：∵BA=2，AC=1，B₁C=3，BC是底面圓O的直徑，
∴BC=$\sqrt{5}$，B₁B=2，
∴圓柱OO₁的體積=$π•（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}•2$=$\frac{5π}{2}$，表面積S=$π•（\frac{\sqrt{5}}{2}）^{2}•2$+$π•\sqrt{5}•2$=$\frac{5π}{2}$+2$\sqrt{5}$π．

點評 本題在圓柱體中求證線面平行，并求圓柱OO₁的體積和表面積．著重考查了線面平行的判定定理、柱體體積公式等知識，屬于中檔題．