Question

5．一個口袋中裝有大小形狀完全相同的n+3個乒乓球，其中有1個乒乓球上標(biāo)有數(shù)字0，有2個乒乓球上標(biāo)有數(shù)字2，其余n個乒乓球上均標(biāo)有數(shù)字3（n∈N^*），若從這個口袋中隨機地摸出2個乒乓球，恰有一個乒乓球上標(biāo)有數(shù)字2的概率是$\frac{8}{15}$．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）從口袋中隨機地摸出2個乒乓球，設(shè)ξ表示所摸到的2個乒乓球上所標(biāo)數(shù)字之和，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）由已知條件得到$\frac{{C_{n+1}^1C_2^1}}{{C_{n+3}^2}}=\frac{8}{15}$，解方程求出n的值；
（2）由題設(shè)知ξ的所有可能取值為2，3，4，6，9，分別求出對應(yīng)的概率值，
由此求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）由題設(shè)$\frac{{C_{n+1}^1C_2^1}}{{C_{n+3}^2}}=\frac{8}{15}$，
即2n²-5n-3=0，
解得n=3；…（5分）
（Ⅱ）根據(jù)題意，ξ的可能取值為2，3，4，5，6；…（6分）
且$P（ξ=2）=\frac{C_1^1C_2^1}{C_6^2}=\frac{2}{15}$，
$P（ξ=3）=\frac{C_1^1C_3^1}{C_6^2}=\frac{1}{5}$，
$P（ξ=4）=\frac{C_2^2}{C_6^2}=\frac{1}{15}$，
$P（ξ=5）=\frac{C_2^1C_3^1}{C_6^2}=\frac{2}{5}$，
$P（ξ=6）=\frac{C_3^2}{C_6^2}=\frac{1}{5}$；…（10分）
∴ξ的分布列為：

ξ	2	3	4	5	6
P	$\frac{2}{15}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{15}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{5}$

…（11分）
數(shù)學(xué)期望為$E（ξ）=2•\frac{2}{15}+3•\frac{1}{5}+4•\frac{1}{15}+5•\frac{2}{5}+6•\frac{1}{5}=\frac{13}{3}$…（12分）

點評 本題考查了概率的求法以及離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的問題，是基礎(chǔ)題．