Question

2．給出下列五個(gè)判斷：
①若非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$所在的直線互相平行或重合；
②在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{0}$；
③向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|，則$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$；
④已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$為非零向量，若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow$=$\overrightarrow{c}$；
⑤已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$為非零向量，則有（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$）．
其中正確的是①②③．（填入所有正確的序號）

Answer 1

分析 ①根據(jù)向量平行的定義知非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$時(shí)，
向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$所在的直線平行或重合；
②利用平面向量的線性運(yùn)算法則得出$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{0}$；
③根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義知|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|時(shí)，$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$；
④對于$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，消去律不成立；
⑤根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義知，（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$）不成立．

解答 解：對于①，根據(jù)向量平行的定義知，非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，
則向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$所在的直線平行或重合，∴①正確；
對于②，△ABC中，$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，∴②正確；
對于③，$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|×|$\overrightarrow$|cosθ，
∴|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•|cosθ|=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|，
∴cosθ=±1，∴$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，③正確；
對于④，向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$為非零向量，若$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$，
則|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cosα=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{c}$|cosβ，
∴|$\overrightarrow$|cosα=|$\overrightarrow{c}$|cosβ，α、β分別為$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{c}$的夾角，
∴不能得出$\overrightarrow$=$\overrightarrow{c}$，④錯(cuò)誤；
對于⑤，向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$為非零向量，由數(shù)量積的定義知，
（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$）=μ$\overrightarrow{a}$，其中λ、μ∈R，
∴（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow$•$\overrightarrow{c}$）不一定成立，⑤錯(cuò)誤；
綜上，正確的命題是①②③．
故答案為：①②③．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的基本概念與數(shù)量積運(yùn)算問題，是綜合題．