Question

17．在（a+b+c+d）¹⁰的展開式中，有（　　）個不同的項．

• A． $C_{13}^3$
• B． $C_{10}^4$
• C． $C_{14}^4$
• D． $C_{10}^1C_9^1C_8^1C_7^1$

Answer 1

分析 通項如Maⁱb^jc^kd^l，其中i，j，k，l為自然數(shù)．i+j+k+l=10，可得：（i+1）+（j+1）+（k+1）+（l+1）=14．因此問題轉(zhuǎn)化為要求x+y+z+t=14的正整數(shù)解的個數(shù)．轉(zhuǎn)化為：有14個球，13個空隙，在這些空隙中插入三個擋板，每一種插板的方式對應(yīng)一組正整數(shù)解，反之，一組正整數(shù)解對應(yīng)一種插板的方式，即可得出．

解答 解：通項如Maⁱb^jc^kd^l，其中i，j，k，l為自然數(shù)．i+j+k+l=10，可得：（i+1）+（j+1）+（k+1）+（l+1）=14．因此問題轉(zhuǎn)化為要求x+y+z+t=14的正整數(shù)解的個數(shù)．
轉(zhuǎn)化為：有14個球，13個空隙，在這些空隙中插入三個擋板，每一種插板的方式對應(yīng)一組正整數(shù)解，反之，一組正整數(shù)解對應(yīng)一種插板的方式，因此共有${∁}_{13}^{3}$ 種．
故選：A．

點評 本題考查了二項式定理的性質(zhì)及其應(yīng)用、排列組合的性質(zhì)及其應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．