Question

7．如圖，已知AB⊥平面BCE，CD||AB，△BCE是正三角形，AB=BC=2CD．
（1）求證：平面ADE⊥平面ABE；
（2）求二面角A-DE-B的正切值．

Answer 1

分析 （1）取BE的中點(diǎn)F、AE的中點(diǎn)G，連接GD，GD，CF，可得四邊形CFGD是平行四邊形，則CD∥GD，CF∥DG．由CF⊥BF，CF⊥AB，根據(jù)線面垂直判定定理可得CF⊥平面ABE，結(jié)合（I）中CF∥DG，可得DG⊥平面ABE，結(jié)合面面垂直的判定定理，可得平面ABE⊥平面ADE；
（2）過G作GM⊥DE，連接BM，我們可以得到∠BMG為二面角A-DE-B的平面角，解三角形BMG即可求出二面角A-DE-B的正切值．

解答 解：（1）當(dāng)F為BE的中點(diǎn)時(shí)，CF∥平面ADE…（1分）
證明：取BE的中點(diǎn)F、AE的中點(diǎn)G，連接GD，GD，CF，
∴GF=$\frac{1}{2}$AB，GF∥AB
又∵DC=$\frac{1}{2}$AB，CD∥AB，∴CD∥GF，CD=GF
∴CFGD是平行四邊形，∴CF∥GD
∴CF∥平面ADE
∵CF⊥BF，CF⊥AB，∴CF⊥平面ABE
∵CF∥DG，∴DG⊥平面ABE
∵DG?平面ABE，∴平面ABE⊥平面ADE
（2）∵AB=BE，∴AE⊥BG，∴BG⊥平面ADE
過G作GM⊥DE，連接BM，則BM⊥DE
則∠BMG為二面角A-DE-B的平面角…（9分）
設(shè)AB=BC=2CD=2，則BG=$\sqrt{2}$，GE=$\sqrt{2}$
在Rt△DCE中，CD=1，CE=2，∴DE=$\sqrt{5}$
又DG=CF=$\sqrt{3}$
由DE•GM=DG•EG得GM=$\frac{\sqrt{30}}{5}$，
∴tan∠BMG═$\frac{BG}{GM}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
∴二面角A-DE-B的正切值為$\frac{{\sqrt{15}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，二面角的平面角及求法，屬于中檔題