Question

1．已知 $A（{cos^2}x，sinx），B（1，cosx），設f（x）=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}，O為坐標原點$，
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）當$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$時，求函數的單調增區(qū)間和最值．

Answer 1

分析 （1）根據向量坐標的運用，求出f（x）的解析式，化簡，即可求f（x）的最小正周期；
（2）當$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$時，求出內層函數范圍，結合三角函數的性質求函數的單調增區(qū)間和最值．

解答 解：由題意，f（x）=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=cos²x+sinxcosx=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x$+\frac{π}{4}$）$+\frac{1}{2}$．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．
（2）當$x∈[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$時，
那么2x$+\frac{π}{4}$∈[$-\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，
∴$-\frac{π}{2}$≤2x$+\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$，即$-\frac{3π}{8}$≤x≤$\frac{π}{8}$，函數f（x）是單調性遞增，
故得函數的單調增區(qū)間為[$-\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{8}$]．
當$-\frac{π}{2}$=2x$+\frac{π}{4}$時，函數f（x）取得最小值為$-1×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}$=$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$；
當2x$+\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時，函數f（x）取得最大值為$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題主要考查三角函數的圖象和性質，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵．