Question

2．若在區(qū)間[0，4]上任取一個數m，則函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+mx在R上是單調增函數的概率是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由題意，本題屬于幾何概型的概率求法，由此只要求出所有事件的區(qū)域長度以及滿足條件的m的范圍對應的區(qū)域長度，利用幾何概型概率公式可求．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+mx，
∴f′（x）=x²-2x+m，∴導函數為拋物線，開口向上，
∵要使f（x）在R上單調，
∴f'（x）=x²-2x+m≥0在R上恒成立，即m≥-x²+2x在R上恒成立，
∴m大于等于-x²+2x的最大值即可，
∵-x²+2x=-（x-1）²+1≤1，
∴m≥1，
∵m≤4，∴1≤m≤4，長度為3，
∵區(qū)間[0，4]上任意取一個數m，長度為4，
∴函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+mx是R上的單調函數的概率是$\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查幾何概型，考查利用導數研究函數的單調性，正確把握導數的正負與函數單調性之間的關系是關鍵．