Question

12．已知函數f（x）=e^xsinx．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）如果對于任意的$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，f（x）≥kx恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）設函數F（x）=f（x）+e^xcosx，$x∈[{-\frac{2015π}{2}，\frac{2017π}{2}}]$，過點$M（{\frac{π-1}{2}，0}）$作函數F（x）的圖象的所有切線，令各切點的橫坐標按從小到大構成數列{x_n}，求數列{x_n}的所有項之和的值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可；
（2）令g（x）=f（x）-kx，問題轉化為g（x）_min≥0，令h（x）=e^x（sinx+cosx），通過討論k的范圍求出函數g（x）的單調性，從而確定a的范圍即可；
（3）設出切點坐標，求出切線方程，分別令y₁=tanx，${y_2}=2（{x-\frac{π}{2}}）$，得到這兩個函數的圖象均關于點$（{\frac{π}{2}，0}）$對稱，從而求出數列{x_n}的所有項之和的值．

解答 解：（1）∵f'（x）=e^x（sinx+cosx）=$\sqrt{2}{e^x}sin（{x+\frac{π}{4}}）$，
∴f（x）的增區(qū)間為$[{2kπ-\frac{π}{4}，2kπ+\frac{3π}{4}}]（{k∈Z}）$；減區(qū)間為$[{2kπ+\frac{3π}{4}，2kπ+\frac{7π}{4}}]（{k∈Z}）$．
（2）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx
要使f（x）≥kx恒成立，只需當$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時，g（x）_min≥0，
∵g'（x）=e^x（sinx+cosx）-k，
令h（x）=e^x（sinx+cosx），則h'（x）=2e^xcosx≥0對$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$恒成立，
∴h（x）在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上是增函數，則$h（x）∈[{1，{e^{\frac{π}{2}}}}]$，
①當k≤1時，g'（x）≥0恒成立，g（x）在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上為增函數，
∴g（x）_min=g（0）=0，∴k≤1滿足題意；
②當$1＜k＜{e^{\frac{π}{2}}}$時，g'（x）=0在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上有實根x₀，h（x）在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上是增函數，
則當x∈[0，x₀）時，g'（x）＜0，∴g（x₀）＜g（0）=0不符合題意；
③當$k≥{e^{\frac{π}{2}}}$時，g'（x）≤0恒成立，g（x）在$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$上為減函數，
∴g（x）＜g（0）=0不符合題意∴k≤1，即k∈（-∞，1]．
（3）∵F（x）=f（x）+e^xcosxe^x（sinx+cosx）∴F'（x）2e^xcosx
設切點坐標為$（{{x_0}，{e^{x_0}}（{sin{x_0}+cos{x_0}}）}）$，則切線斜率為$F'（{x_0}）=2{e^{x_0}}cos{x_0}$
從而切線方程為$y-{e^{x_0}}（{sin{x_0}+cos{x_0}}）$=$2{e^{x_0}}cos{x_0}（{x-{x_0}}）$，
∴$-{e^{x_0}}（{sin{x_0}+cos{x_0}}）$$2{e^{x_0}}cos{x_0}（{\frac{π-1}{2}-{x_0}}）$$?tan{x_0}=2（{{x_0}-\frac{π}{2}}）$，
令y₁=tanx，${y_2}=2（{x-\frac{π}{2}}）$，這兩個函數的圖象均關于點$（{\frac{π}{2}，0}）$對稱，
則它們交點的橫坐標也關于$x=\frac{π}{2}$對稱，從而所作的所有切線的切點的橫坐標構成數列{x_n}的項也關于$x=\frac{π}{2}$成對出現(xiàn)，
又在$[{-\frac{2015π}{2}，\frac{2017π}{2}}]$共有1008對，每對和為π；
∴S=1008π．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想、轉化思想以及三角函數的性質，是一道綜合題．