Question

【題目】在等腰梯形中，，直線平面，，點為的中點，且，.

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)見解析（3）

【解析】分析：（1）取FC中點N，連接EN，推導出四邊形EDCN是平行四邊形，從而ENDC，連接NG，推導出四邊形EAGN是平行四邊形，從而EA∥NG，由此能證明AE∥平面GCF．

（2）由DCAG，得四邊形AGCD為平行四邊形，從而AD=GC，推導出AC⊥BC，AC⊥CF，從而AC⊥平面BCF，由此能證明平面ACF⊥平面BCF．

（3）推導出ED∥平面GCF，AE∥平面GCF，從而平面ADE∥平面GCF，進而直線FB與平面ADE所成角也為直線FB與平面GCF所成角．由此能求出直線FB與平面ADF所成角正弦值．

詳解：（1）證明：取中點，連接，因為，，所以平行且等于，

所以四邊形是平行四邊形，所以平行且等于，

連接平行且等于，又平行且等于，

所以平行且等于，所以四邊形是平行四邊形，所以，

又平面，平面，所以平面.

（2）∵平行且等于，∴四邊形為平行四邊形，

∴，

∵，∴，

∵，∴為等邊三角形，

∵，

∴，由余弦定理得

，

所以即，

所以，又，，

所以平面，又平面，

所以平面平面.

（3）因為，平面，平面，所以平面，

由（1）知平面，且，所以平面平面，

所以直線與平面所成角也為直線與平面所成角.

由（2）知，設為中點，連接,所以.

因為平面，所以，因為，

所以平面，

所以為直線與平面所成角，

因為，

在直角中，，

所以直線與平面所成角的正弦值為.