Question

2．已知圓C：x²+y²+2x-8y+m=0與拋物線上E：y²=8x的準線l相切，拋物線E上的點P到準線l的距離為d，Q為圓C上任意一點，則|PQ|+d的最小值等于（　�。�

• A． 3
• B． 2
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 圓C：x²+y²+2x-8y+m=0與拋物線上E：y²=8x的準線l相切，求出圓心與半徑，拋物線y²=8x的準線為l：x=-2，焦點為F（2，0），當P，Q，F(xiàn)三點共線時，P到點Q的距離d與點P到拋物線的焦點距離|PQ|之和最小，從而d+|PQ|的最小值為|FC|-r．

解答 解：圓C：x²+y²+2x-8y+m=0配方，得（x+1）²+（y-4）²=17-m，圓心為C（-1，4），半徑r=$\sqrt{17-m}$．
∵圓C與拋物線上E：y²=8x的準線l相切，∴$\sqrt{17-m}$=1，∴m=16
如圖所示，由題意，知拋物線y²=8x的焦點為F（2，0），連接PF，則d=|PF|．
d+|PQ|=|PF|+|PQ|，顯然，|PF|+|PQ|≥|FQ|（當且僅當F，P，Q三點共線時取等號）．
而|FQ|為圓C上的動點Q到定點F的距離，
顯然當F，Q，C三點共線時取得最小值，
最小值為|CF|-r=$\sqrt{（-1-2）^{2}+（4-0）^{2}}$-1=5-1=4．
故選：C．

點評 本題考查線段和的最小值的求法，考查拋物線的定義，是中檔題，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．