Question

20．已知函數(shù)f（x）=2x³-ax²+1．
（1）當a=4時，求函數(shù)f（x）的極大值；
（2）若函數(shù)f（x）在R上有且僅有兩個零點，求實數(shù)a的值；
（3）求證：$\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+…+\frac{1}{n^3}＜\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}（{n∈N且n≥2}）$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極大值即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的導數(shù)，結合函數(shù)的零點問題求出a的值即可；
（3）當n∈N且n≥2時，f（n）=2n³-4n²+1≥f（2）＞0，從而2n³＞4n²-1＞0，證出結論即可．

解答 解：（ 1）當a=4時，f（x）=2x³-4x²+1，$f'（x）=6x（x-\frac{4}{3}）$，

x	（-∞，0）	0	$（0，\frac{4}{3}）$	$\frac{4}{3}$	$（\frac{4}{3}，+∞）$
f'（x）	+	0	$\_$	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以，函數(shù)y=f（x）的極大值為f（0）=1；…（4分）
（2）f（x）=2x³-ax²+1在R上有且僅有兩個零點，$f'（x）=6x（x-\frac{a}{3}）$．

x	（-∞，0）	0	$（0，\frac{a}{3}）$	$\frac{a}{3}$	$（\frac{a}{3}，+∞）$
f'（x）	+	0	$\_$	0	+
f（x）	↗	1	↘	$1-\frac{a^3}{27}$	↗

當a＞0時，函數(shù)在（-∞，0）上遞增且恰有1個零點，f（0）=1＞0，
因而必有$f（\frac{a}{3}）=1-\frac{a^3}{27}=0$得a=3＞0，所以a=3；…（6分）
當a=0時，f'（x）=6x²≥0，函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）上遞增，
函數(shù)y=f（x）至多有一個零點，不符合題意，舍去；…（7分）

x	$（-∞，\frac{a}{3}）$	$\frac{a}{3}$	$（\frac{a}{3}，0）$	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	$\_$	0	+
f（x）	↗	$1-\frac{a^3}{27}$	↘	1	↗

當a＜0時，函數(shù)y=f（x）在$（-∞，\frac{a}{3}）$上遞增且恰有1個零點，但在$（\frac{a}{3}，+∞）$上無零點，
因而函數(shù)y=f（x）在R只有1個零點，不符合題意，應舍去．
綜上所述，a=3；…（8分）
（其它解法酌情給分）
（3）證明：由（ I）當a=4時，f（x）=2x³-4x²+1在x∈[2，+∞）遞增，
有f（x）≥f（2）=1＞0，當n∈N且n≥2時，f（n）=2n³-4n²+1≥f（2）＞0，
從而2n³＞4n²-1＞0，$\frac{1}{n^3}＜\frac{2}{{4{n^2}-1}}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，n=2，3，…，n…（10分）$\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+…+\frac{1}{n^3}＜（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}$．
所以，$\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+…+\frac{1}{n^3}＜\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+1}$（n∈N且n≥2）．…（12分

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．