Question

20．從裝有3只紅球，2只白球和2只黑球的袋中逐一取球，已知每只球披抽取的可能性相同．
（1）若抽取后又放回，抽3次．
①求恰有2次為紅球的概率；
②求抽到紅球次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望；
（2）若抽取后不放回，抽完紅球所需次數(shù)為Y，求Y的分布列及數(shù)學(xué)期望E（Y）．

Answer 1

分析 （1）①若抽取后又放回，求出抽取一次取到紅球的概率，計(jì)算抽取3次恰有2次取到紅球的概率值；②由題設(shè)知X～B（3，$\frac{2}{7}$），計(jì)算EX即可；
（2）寫(xiě)出Y的可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫(xiě)出Y的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）①若抽取后又放回，抽取一次取到紅球的概率為$\frac{2}{7}$，
∴抽取3次恰好有2次取到紅球的概率為：
P=${C}_{3}^{2}$•${（\frac{2}{7}）}^{2}$•（1-$\frac{2}{7}$）=$\frac{60}{343}$；
②由題設(shè)知X～B（3，$\frac{2}{7}$），EX=3×$\frac{2}{7}$=$\frac{6}{7}$
（2）Y的可能取值為3，4，5，6，7；
則P（Y=3）=$\frac{{A}_{3}^{3}}{{A}_{7}^{3}}$=$\frac{1}{35}$，
P（Y=4）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{3}^{2}{•A}_{3}^{3}{•A}_{1}^{1}}{{A}_{7}^{4}}$=$\frac{3}{35}$，
P（Y=5）=$\frac{{C}_{4}^{2}{•C}_{3}^{2}{•A}_{4}^{4}{•A}_{1}^{1}}{{A}_{7}^{5}}$=$\frac{6}{35}$，
P（Y=6）=$\frac{{C}_{4}^{3}{•C}_{3}^{2}{•A}_{5}^{5}{•A}_{1}^{1}}{{A}_{7}^{6}}$=$\frac{2}{7}$，
P（Y=7）=$\frac{{C}_{4}^{4}{•C}_{3}^{2}{•A}_{6}^{6}{•A}_{1}^{1}}{{A}_{7}^{7}}$=$\frac{3}{7}$；
∴Y的分布列為：

Y	3	4	5	6	7
P	$\frac{1}{35}$	$\frac{3}{35}$	$\frac{6}{35}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{3}{7}$

Y的數(shù)學(xué)期望是E（Y）=3×$\frac{1}{35}$+4×$\frac{3}{35}$+5×$\frac{6}{35}$+6×$\frac{2}{7}$+7×$\frac{3}{7}$=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了古典概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題目．