Question

15．已知雙曲線的兩條漸近線方程為3x±4y=0，A為雙曲線的右支上的一點，F(xiàn)₁（-5，0）、F₂（5，0）分別為雙曲線的左、右焦點，若∠F₁AF₂=60°，則△F₁AF₂的面積為（　�。�

• A． 8
• B． 6$\sqrt{3}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 9$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），求出漸近線方程，由題意可得c=5，即a²+b²=25，且$\frac{a}$=$\frac{3}{4}$，解得a=4，b=3，可得雙曲線的方程，運用雙曲線的定義和三角形的余弦定理，可得|AF₁|•|AF₂|=4b²=36，再由△F₁AF₂的面積S=$\frac{1}{2}$|AF₁|•|AF₂|sin∠F₁AF₂，計算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
可得漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
由題意可得c=5，即a²+b²=25，且$\frac{a}$=$\frac{3}{4}$，
解得a=4，b=3，
即雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
又|AF₁|-|AF₂|=2a=8，|F₁F₂|=2c=10，∠F₁AF₂=60°，
在△F₁AF₂中，由余弦定理得：
|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos∠F₁AF₂
=（|AF₁|-|AF₂|）²+|AF₁|•|AF₂|，
即4c²=4a²+|AF₁|•|AF₂|，
可得|AF₁|•|AF₂|=4b²=36，
則△F₁AF₂的面積S=$\frac{1}{2}$|AF₁|•|AF₂|sin∠F₁AF₂=$\frac{1}{2}$×36×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=9$\sqrt{3}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和簡單性質(zhì)，著重考查雙曲線的定義與a、b、c之間的關(guān)系式的應(yīng)用，考查三角形的面積公式，考查轉(zhuǎn)化思想與運算能力，屬于中檔題．