【題目】已知集合,其中
,由
中的元素構(gòu)成兩個相應的集合:
,
.
其中是有序數(shù)對,集合
和
中的元素個數(shù)分別為
和
.
若對于任意的,總有
,則稱集合
具有性質(zhì)
.
(Ⅰ)檢驗集合與
是否具有性質(zhì)
并對其中具有性質(zhì)
的集合,寫出相應的集合
和
.
(Ⅱ)對任何具有性質(zhì)的集合
,證明
.
(Ⅲ)判斷和
的大小關系,并證明你的結(jié)論.
【答案】(Ⅰ)集合不具有性質(zhì)
,集合
具有性質(zhì)
,相應集合
,
,集合
,
(Ⅱ)見解析(Ⅲ)
【解析】解:集合不具有性質(zhì)
.
集合具有性質(zhì)
,其相應的集合
和
是
,
.
(II)證明:首先,由中元素構(gòu)成的有序數(shù)對
共有
個.
因為,所以
;
又因為當時,
時,
,所以當
時,
.
從而,集合中元素的個數(shù)最多為
,
即.
(III)解: ,證明如下:
(1)對于,根據(jù)定義,
,
,且
,從而
.
如果與
是
的不同元素,那么
與
中至少有一個不成立,從而
與
中也至少有一個不成立.
故與
也是
的不同元素.
可見, 中元素的個數(shù)不多于
中元素的個數(shù),即
,
(2)對于,根據(jù)定義,
,
,且
,從而
.如果
與
是
的不同元素,那么
與
中至少有一個不成立,從而
與
中也不至少有一個不成立,
故與
也是
的不同元素.
可見, 中元素的個數(shù)不多于
中元素的個數(shù),即
,
由(1)(2)可知, .
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
,且滿足
.
(1)判斷函數(shù)在
上的單調(diào)性,并用定義證明;
(2)設函數(shù),求
在區(qū)間
上的最大值;
(3)若存在實數(shù)m,使得關于x的方程恰有4個不同的正根,求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了解學生身高情況,某校以10%的比例對全校700名學生按性別進行抽樣檢查,測得身高情況的統(tǒng)計圖如圖所示:
(1)估計該校男生的人數(shù);
(2)估計該校學生身高在170~185cm的概率;
(3)從樣本中身高在180~190cm的男生中任選2人,求至少有1人身高在185~190cm的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設為集合
的子集,且
,若
,則稱
為集合
的
元“大同集”.
(1)寫出實數(shù)集的一個二元“大同集”;
(2)是否存在正整數(shù)集的二元“大同集”,請說明理由;
(3)求出正整數(shù)集的所有三元“大同集”.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,定義域為上的函數(shù)
是由一條射線及拋物線的一部分組成.利用該圖提供的信息解決下面幾個問題.
(1)求的解析式;
(2)若關于的方程
有三個不同解,求
的取值范圍;
(3)若,求
的取值集合.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某企業(yè)準備推出一種花卉植物用于美化城市環(huán)境,為評估花卉的生長水平,現(xiàn)對該花卉植株的高度(單位:厘米)進行抽查,所得數(shù)據(jù)分組為,據(jù)此制作的頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求出直方圖中的值;
(2)利用直方圖估算花卉植株高度的中位數(shù);
(3)若樣本容量為32,現(xiàn)準備從高度在的植株中繼續(xù)抽取2顆做進一步調(diào)查,求抽取植株來自同一組的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個焦點與短軸的一個端點是等邊三角形的三個頂點,且長軸長為4.
求橢圓E的方程;
若A是橢圓E的左頂點,經(jīng)過左焦點F的直線l與橢圓E交于C,D兩點,求
與
為坐標原點
的面積之差絕對值的最大值.
已知橢圓E上點
處的切線方程為
,T為切點
若P是直線
上任意一點,從P向橢圓E作切線,切點分別為N,M,求證:直線MN恒過定點,并求出該定點的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】三角形的面積為,其中
,
,
為三角形的邊長,
為三角形內(nèi)切圓的半徑,則利用類比推理,可得出四面體的體積為( )
A.
B.
C. ,(
為四面體的高)
D. ,(
,
,
,
分別為四面體的四個面的面積,
為四面體內(nèi)切球的半徑)
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