Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+2x+a

x

，x∈[1，+∞）．
（1）當a=4時，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若對任意x∈[1，4]，f（x）＞6恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）把a=4代入函數(shù)解析式，然后利用基本不等式求最值；
（2）把不等式f（x）＞6變形，分離變量a，然后利用配方法求出二次函數(shù)的最大值得答案．

解答： 解：（1）由a=4，
得f（x）=

x2+2x+4

x

=x+

4

x

+2≥6，當x=2時，取得等號．
即當x=2時，f（x）_min=6；
（2）x∈[1，4]，

x2+2x+4

x

＞6恒成立，
即x∈[1，4]，x²+2x+a＞6x恒成立．
等價于a＞-x²+4x，當x∈[1，4]時恒成立，
令g（x）=-x²+4x=-（x-2）²+4，x∈[1，4]，
∴a＞g（x）_max=g（2）=4，即．
∴a的取值范圍是a＞4．

點評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了利用基本不等式求最值，考查了分離變量法，是中檔題．