Question

北京、張家港2022年冬奧會(huì)申辦委員會(huì)在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會(huì)，某公司為了競(jìng)標(biāo)配套活動(dòng)的相關(guān)代言，決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估．該商品原來(lái)每件售價(jià)為25元，年銷(xiāo)售8萬(wàn)件．
（1）據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷(xiāo)售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷(xiāo)售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？
（2）為了抓住申奧契機(jī)，擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷(xiāo)售量．公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營(yíng)銷(xiāo)策略改革，并提高定價(jià)到x元．公司擬投入

1

6

(x2-600)萬(wàn)作為技改費(fèi)用，投入50萬(wàn)元作為固定宣傳費(fèi)用，投入

x

5

萬(wàn)元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用．試問(wèn)：當(dāng)該商品改革后的銷(xiāo)售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬(wàn)件時(shí)，才可能使改革后的銷(xiāo)售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià)．

Answer 1

考點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型

專(zhuān)題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)每件定價(jià)為x元，可得提高價(jià)格后的銷(xiāo)售量，根據(jù)銷(xiāo)售的總收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定價(jià)；
（2）依題意，x＞25時(shí)，不等式ax≥25×8+50+

1

6

（x²-600）+

1

5

x有解，等價(jià)于x＞25時(shí)，a≥

150

x

+

1

6

x+

1

5

有解，利用基本不等式，我們可以求得結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)每件定價(jià)為t元，依題意得（8-

x-25

1

×0.2）x≥25×8，
整理得t²-65t+1 000≤0，解得25≤t≤40．
所以要使銷(xiāo)售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為40元．
（2）依題意知當(dāng)x＞25時(shí)，不等式ax≥25×8+50+

1

6

（x²-600）+

1

5

x有解，
等價(jià)于x＞25時(shí)，a≥

150

x

+

1

6

x+

1

5

有解．
由于

150

x

+

1

6

x≥2 

150 x × x 6

=10，當(dāng)且僅當(dāng)

150

x

=

x

6

，即x=30時(shí)等號(hào)成立，所以a≥10.2．
當(dāng)該商品改革后的銷(xiāo)售量a至少達(dá)到10.2萬(wàn)件時(shí)，才可能使改革后的銷(xiāo)售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元．

點(diǎn)評(píng)：解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，建立函數(shù)模型，同時(shí)應(yīng)注意變量的取值應(yīng)使實(shí)際問(wèn)題有意義．