Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長2的正三角形，側(cè)棱與底面垂直，且長為

3

，D是AC的中點．
（1）求證：B₁C∥平面A₁BD；
（2）求點A到平面A₁BD的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)DM，證明MD∥B₁C，即可證明B₁C∥平面A₁BD；
（2）利用V_A1-BDA=V_A-A1BD，求點A到平面A₁BD的距離．

解答： （1）證明：連結(jié)DM，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面垂直，
∴四邊形AA₁B₁B是矩形，
∴M為A₁B的中點．
∵D是AC的中點，∴MD是三角形AB₁C的中位線，
∴MD∥B₁C．
∵M(jìn)D?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，
∴B₁C∥平面A₁BD．
（2）解：設(shè)點A到平面A₁BD的距離為h，
∵AA₁⊥平面ABC，BD=

3

，
∴A₁D=2，A₁B=

7

，
∴A₁D⊥BD，
∴S_△A1BD=

1

2

BD•A1D=

3

，
由V_A1-BDA=V_A-A1BD得h=

1 2 × 3 × 3

3

=

3

2

．

點評：此題重點考查了線面平行的判定定理，考查了點A到平面A₁BD的距離，及學(xué)生的空間想象能力及計算能力．