Question

12．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{\root{3}{x}}$）ⁿ的展開式的前三項系數(shù)的和為129，試問這個展開式中是否存在常數(shù)項？有理項？如沒有，說明理由；若有，求出這些項．

Answer 1

分析 利用二項展開式的通項公式求出通項，求出前三項系數(shù)，列出方程求出n，令x的指數(shù)為求常數(shù)項和有理項．

解答 解：展開式的通項為C_n^k${x}^{\frac{n-k}{2}}$•2^k•${x-}^{\frac{k}{3}}$=C_n^k•2^k•${x}^{\frac{3n-5k}{6}}$，
∴展開式前3項的系數(shù)為1，C_n¹2=2n，4C_n²
∴1+2n+4C_n²=129，
解得n=8，
令$\frac{24-5k}{6}$=0，
即5k=24無整數(shù)解，
故無常數(shù)項，
當(dāng)k=0時，$\frac{24-5k}{6}$=4，
C₈⁰•2⁰•x⁴=x⁴，
當(dāng)k=6時，$\frac{24-5k}{6}$=-1，
C₈⁶•2⁶•x^-1=$\frac{1792}{x}$，
故有理項為x⁴，$\frac{1792}{x}$．

點評 本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題．