Question

17．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，則$\frac{|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$的取值范圍是（　　）

• A． （0，1）
• B． （1，2）
• C． （1，+∞）
• D． （1，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 方法1．由于非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，則由平行四邊形法則可得，$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，令|$\overrightarrow{a}$|=m，|$\overrightarrow$|=n，則|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，則$\frac{|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\sqrt{1+\frac{2mn}{{m}^{2}+{n}^{2}}}$＞1，再由基本不等式即可得到最大值，進而得到所求范圍．
方法2．利用坐標法，轉化為函數(shù)問題進行求解．

解答 解：由于非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，
則由平行四邊形法則可得，$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，
令|$\overrightarrow{a}$|=m，|$\overrightarrow$|=n，則|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$|=$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$，
則$\frac{|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\frac{m+n}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}+{n}^{2}+2mn}{{m}^{2}+{n}^{2}}}$
=$\sqrt{1+\frac{2mn}{{m}^{2}+{n}^{2}}}$＞1，
又m²+n²≥2mn，則$\sqrt{1+\frac{2mn}{{m}^{2}+{n}^{2}}}$≤$\sqrt{1+\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\sqrt{2}$．
則所求的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]．
方法二 由于非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，
則由平行四邊形法則可得，$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，
不妨設$\overrightarrow{a}$=（x，0），$\overrightarrow$=（0，y），（x＞0，y＞0），
則$\frac{|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|}$=$\frac{x+y}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{（x+y）^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{x}^{2}+{y}^{2}+2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}}$≤$\sqrt{1+\frac{2xy}{2xy}}$=$\sqrt{2}$，
∵$\sqrt{1+\frac{2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}}$＞1，
∴1＜$\sqrt{1+\frac{2xy}{{x}^{2}+{y}^{2}}}$≤$\sqrt{2}$，
故選：D．

點評 本題考查平面向量的運用，考查向量的運算的幾何意義，考查運用基本不等式求最值，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．