Question

11．已知數列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=2，且a_n+2=（2+cosnπ）（a_n-1）+3，n∈N^*．
（1）求數列{a_n}前20項的和S₂₀；
（2）求通項公式a_n；
（3）設{a_n}的前n項和為S_n，問：是否存在正整數m、n，使得S_2n=mS_2n-1？若存在，請求出所有符合條件的正整數對（m，n），若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據等差數列和等比數列的前n項和公式計算即可．
（2）確定a₁，a₃，…，a_2n-1，…是首項為1，公差為2的等差數列；a₂，a₄，…，a_2n，…是首項為2，公比為3的等比數列，從而可得通項公式a_n；
（3）由（2）先求出S_2n，S_2n-1的表達式，若存在正整數m、n，使得S_2n=mS_2n-1，則m=$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{2n-1}}$≤3，再分類討論，即可求得結論．

解答 解：（1）${S_{20}}=（1+3+5+…+19）+（2+2×3+2×{3^2}+…+2×{3^9}）={3^{10}}+99$
（2）當n是奇數時，cosnπ=-1；當n是偶數時，cosnπ=1．
所以，當n是奇數時，a_n+2=a_n+2；當n是偶數時，a_n+2=3a_n．
又a₁=1，a₂=2，所以a₁，a₃，…，a_2n-1，…是首項為1，公差為2的等差數列；
a₂，a₄，…，a_2n，…是首項為2，公比為3的等比數列．        
所以，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n為奇數}\\{2×{3}^{\frac{n}{2}-1}，n為偶數}\end{array}\right.$．          
（3）由（2），得S_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+a₄+…+a_2n）=3ⁿ+n²-1，
S_2n-1=S_2n-a_2n=3ⁿ+n²-1-2×3^n-1=3^n-1+n²-1．        
所以，若存在正整數m、n，使得S_2n=mS_2n-1，
則m=$\frac{{S}_{2n}}{{S}_{2n-1}}$=$\frac{{3}^{n}+{n}^{2}-1}{{3}^{n-1}+{n}^{2}-1}$=1+$\frac{2×{3}^{n-1}}{{3}^{n-1}+{n}^{2}-1}$≤1+$\frac{2×{3}^{n-1}}{{3}^{n-1}}$=3．
顯然，當m=1時，S_2n=3ⁿ+n²-1≠1×3^n-1+n²-1=S_2n-1；
當m=2時，由S_2n=2S_2n-1，整理得3^n-1=n²-1．
顯然，當n=1時，3^1-1≠1²-1；
當n=2時，3^2-1=2²-1，
所以（2，2）是符合條件的一個解．               
當n≥3時，3^n-1=（1+2）^n-1=1+C_n-1¹×2+C_n-1²×2²+…≥1+2C_n-1¹+4C_n-1²=2n²-1＞n²-1．     
當m=3時，由S_2n=3S_2n-1，整理得n=1，
所以（3，1）是符合條件的另一個解．
綜上所述，所有的符合條件的正整數對（m，n），有且僅有（3，1）和（2，2）兩對．

點評 本題考查數列的通項，考查存在性問題的探究，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．