Question

17．在數(shù)列{a_n}中，a_n=2a_n-1+1（n≥2，n∈N*）且a₁=2．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對(duì)原等式兩邊加1，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可得證；
（Ⅱ）運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得${a_n}+1=3•{2^{n-1}}$，即${a_n}=3•{2^{n-1}}-1$，再由數(shù)列的求和方法：分組求和，運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．

解答 （Ⅰ）證明：∵a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1），
∵a₁=2，∴a₁+1=3，
則數(shù)列{a_n+1}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知${a_n}+1=3•{2^{n-1}}$，
∴${a_n}=3•{2^{n-1}}-1$，
則S_n=（3+6+…+3•2^n-1）-（1+1+…+1）
∴${S_n}=\frac{{3（1-{2^n}）}}{1-2}-n=3•{2^n}-n-3$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的定義的運(yùn)用，以及通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的求和方法：分組求和，注意運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．