Question

8．在一張足夠大的紙板上截取一個面積為3600平方厘米的矩形紙板ABCD，然后在矩形紙板的四個角上切去邊長相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個無蓋的長方體紙盒（如圖）．設(shè)小正方形邊長為x厘米，矩形紙板的兩邊AB，BC的長分別為a厘米和b厘米，其中a≥b．
（1）當(dāng)a=90時，求紙盒側(cè)面積的最大值；
（2）試確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=90時，b=40，求出側(cè)面積，利用配方法求紙盒側(cè)面積的最大值；
（2）表示出體積，利用基本不等式，導(dǎo)數(shù)知識，即可確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值．

解答 解：（1）因為矩形紙板ABCD的面積為3600，故當(dāng)a=90時，b=40，
從而包裝盒子的側(cè)面積S=2×x（90-2x）+2×x（40-2x）=-8x²+260x，x∈（0，20）．…（3分）
因為S=-8x²+260x=-8（x-16.25）²+2112.5，
故當(dāng)x=16.25時，側(cè)面積最大，最大值為2112.5平方厘米．
（2）包裝盒子的體積V=（a-2x）（b-2x）x=x[ab-2（a+b）x+4x²]，x∈（0，$\frac{2}$），b≤60．…（8分）
V=x[ab-2（a+b）x+4x²]≤x（ab-4$\sqrt{ab}$x+4x²）=x（3600-240x+4x）
=4x³-240x²+3600x．…（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=60時等號成立．
設(shè)f（x）=4x³-240x²+3600x，x∈（0，30）．則f′（x）=12（x-10）（x-30）．
于是當(dāng)0＜x＜10時，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，10）上單調(diào)遞增；
當(dāng)10＜x＜30時，f′（x）＜0，所以f（x）在（10，30）上單調(diào)遞減．
因此當(dāng)x=10時，f（x）有最大值f（10）=16000，…（12分）此時a=b=60，x=10．
答：當(dāng)a=b=60，x=10時紙盒的體積最大，最大值為16000立方厘米．…（14分）

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查基本不等式，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，屬于中檔題．