Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y²=6x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足．若直線AF的斜率k=-$\sqrt{3}$，則線段PF的長為6．

Answer 1

分析 先根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，根據(jù)直線AF的斜率得到AF方程，與準(zhǔn)線方程聯(lián)立，解出A點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)镻A垂直準(zhǔn)線l，所以P點(diǎn)與A點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，再代入拋物線方程求P點(diǎn)橫坐標(biāo)，利用拋物線的定義就可求出PF長．

解答 解：∵拋物線方程為y²=6x，
∴焦點(diǎn)F（1.5，0），準(zhǔn)線l方程為x=-1.5，
∵直線AF的斜率為-$\sqrt{3}$，
直線AF的方程為y=-$\sqrt{3}$（x-1.5），
當(dāng)x=-1.5時(shí)，y=3$\sqrt{3}$，
由可得A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1.5，3$\sqrt{3}$）
∵PA⊥l，A為垂足，
∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為3$\sqrt{3}$，代入拋物線方程，得P點(diǎn)坐標(biāo)為（4.5，3$\sqrt{3}$），
∴|PF|=|PA|=4.5-（-1.5）=6．
故答案為6．

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)，定義的應(yīng)用，以及曲線交點(diǎn)的求法，利用拋物線的定義是解決本題的關(guān)鍵．