Question

2．已知等比數(shù)列的各項都為正數(shù)，且當(dāng)n≥3時，a₄a_2n-4=10²ⁿ，則數(shù)列l(wèi)ga₁，2lga₂，2²lga₃，2³lga₄，…，2^n-1lga_n，…的前n項和S_n等于（　�。�

• A． n•2ⁿ
• B． （n-1）•2^n-1-1
• C． （n-1）•2ⁿ+1
• D． 2ⁿ+1

Answer 1

分析 設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，且當(dāng)n≥3時，a₄a_2n-4=10²ⁿ，可得${a}_{4}^{2}{q}^{2n-8}$=10²ⁿ，化為${a}_{4}{q}^{n-4}$=10ⁿ=a_n，于是lga_n=n．利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，且當(dāng)n≥3時，a₄a_2n-4=10²ⁿ，∴${a}_{4}^{2}{q}^{2n-8}$=10²ⁿ，化為${a}_{4}{q}^{n-4}$=10ⁿ=a_n，
∴l(xiāng)ga_n=n．
∴數(shù)列l(wèi)ga₁，2lga₂，2²lga₃，2³lga₄，…，2^n-1lga_n，…的前n項和S_n=1+2×2+2²×3+…+n•2^n-1，
2S_n=2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
∴-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1．
故選：C．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的求和公式、遞推關(guān)系、對數(shù)的運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．