Question

16．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2^|x-m|-1（m∈R）為偶函數(shù)，記a=f（-2），b=f（log₂5），c=f（2m），則a，b，c的大小關(guān)系為（　　）

• A． a＜b＜c
• B． c＜a＜b
• C． a＜c＜b
• D． c＜b＜a

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由于函數(shù)為偶函數(shù)，則有f（-x）=f（x），即2^|x-m|-1=2^|-x-m|-1，分析可得m=0，即可得函數(shù)f（x）的解析式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)x≥0時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；對于a、b、c三個數(shù)，比較自變量絕對值的大小，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=2^|x-m|-1（m∈R）為偶函數(shù)，
則有f（-x）=f（x），即2^|x-m|-1=2^|-x-m|-1，
分析可得m=0，
則f（x）=2^|x|-1=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，x≥0}\\{{\frac{1}{2}}^{x}-1，x＜0}\end{array}\right.$，
分析可得當(dāng)x≥0時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
a=f（-2）=f（2），b=f（log₂5），c=f（2m）=f（0），
又由0＜2＜log₂5，
則有c＜a＜b；
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)偶函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用偶函數(shù)的性質(zhì)求出m的值．