Question

【題目】在函數定義域內,若存在區(qū)間,使得函數值域為,則稱此函數為“檔類正方形函數”,已知函數.

(1)當時,求函數的值域;

(2)若函數的最大值是1,求實數的值;

(3)當時,是否存在,使得函數為“1檔類正方形函數”?若存在,求出實數的取值范圍,若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)或;(3)存在,.

【解析】

（1）根據指數函數的性質和對數函數想性質可得到函數的值域；

（2）利用換元法設，然后對參數進行分類討論，分和兩種情況進行討論函數的最大值，根據最大值取得的情況計算出的取值；

（3）繼續(xù)利用換元法設，設真數為，根據二次函數的性質可得在上為增函數，則，將問題轉化為方程在上有兩個不同實根進行思考，再次利用換元法轉化為一元二次方程，根據，及韋達定理可計算出實數的取值范圍.

(1)時,,

因為.

所以,

所以函數的值域為

(2)設,則,

若,則函數無最大值,

即無最大值,不合題意;

故,因此最大值在時取到,

且,所以,

解得或,

由,所以.

(3)因為時,設.設真數為.

此時對稱軸,

所以當時,為增函數,且,

即在上為增函數.

所以,,

即方程在上有兩個不同實根,

即,設.

所以.

即方程有兩個大于l的不等實根,

因為,

所以,

解得,

即存在,使得函數為“1檔類正方形函數”,且.