Question

14．已知[x）表示大于x的最小整數(shù)，例如[3）=4，[-1，3）=-1，下列命題中正確的是（　�。�
①函數(shù)f（x）=[x）-x的值域是（0，1]
②若{a_n}是等差數(shù)列，則{[a_n）}也是等差數(shù)列
③若{a_n}是等比數(shù)列，則{[a_n）}也是等比數(shù)列
④若x∈（1，2017），則方程[x）-x=sin$\frac{π}{2}$x有1007個(gè)根．

• A． ②
• B． ③④
• C． ①
• D． ①④

Answer 1

分析 根據(jù)定義一一加以判斷：對(duì)①考慮當(dāng)x為整數(shù)和不為整數(shù)；對(duì)②可取特殊數(shù)列比如整數(shù)等差數(shù)列和非整數(shù)等差數(shù)列加以檢驗(yàn)；對(duì)③也取特殊數(shù)列驗(yàn)證；對(duì)④因?yàn)閤∈（1，2017），函數(shù)f（x）=[x）-x=sin$\frac{π}{2}$x的周期T=4，在（1，5]內(nèi)有兩個(gè)根，一個(gè)根x∈（4，5），另一個(gè)根x=5．即可得出．

解答 解：對(duì)①，當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，[x）=x+1，即[x）-x=1，當(dāng)x不為整數(shù)時(shí)，0＜[x）-x＜1，所以函數(shù)f（x）=[x）-x的 值域是（0，1]即①對(duì)；
 對(duì)②，當(dāng)數(shù)列{a_n}是整數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列，則數(shù)列{[a_n）}也是等差數(shù)列；當(dāng){a_n}不是整數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列，則數(shù)列{[a_n）}不是等差數(shù)列．
例如：數(shù)列{a_n}：0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0，1.1；那么數(shù)列
{[a_n）}：1，1，1，1，1，1，2，2顯然不是等差數(shù)列．故②錯(cuò)；
對(duì)③，可取等比數(shù)列{a_n}：1，2，4，8，16；則數(shù)列{[a_n）}為：2，3，5，9，17顯然不是等比數(shù)列，故③錯(cuò)；
對(duì)④，因?yàn)閤∈（1，2017），函數(shù)f（x）=[x）-x=sin$\frac{π}{2}$x的周期T=4，在（1，5]內(nèi)有兩個(gè)根，一個(gè)根x∈（4，5），另一個(gè)根x=5．因此方程[x）-x=sin$\frac{π}{2}$x在區(qū)間（1，2017）內(nèi)共有504×2-1=1007個(gè)根．
故④對(duì)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)與方程的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．