Question

正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)M，N分別在線段AB，AD上．若3|MN|²+|CM|²+|CN|²=

9

2

，則|AM|+|AN|的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：綜合題,直線與圓

分析：設(shè)AM=x，AN=y，（x≥0，y≥0），根據(jù)條件建立x，y滿足的方程，利用直線和圓的位置關(guān)系求取值范圍，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)AM=x，AN=y，（x≥0，y≥0）
正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)M，N分別在線段AB，AD上，
∴BM=1-x，DN=1-y，
由勾股定理，MN²=x²+y²，CM²=（1-x）²+1，CN²=1+（1-y）²，
代入已知式得若3|MN|²+|CM|²+|CN|²=

9

2

，
得3（x²+y²）+（1-x）²+1+1+（1-y）²=

9

2

，
∴（x-

1

4

）²+（y-

1

4

）²=

1

4

，（x≥0，y≥0），
則|AM|+|AN|=x+y，
設(shè)z=x+y，
由圖象可知當(dāng)直線y=-x+z經(jīng)過原點(diǎn)時z取得最小值z=0，
當(dāng)直線x+y-z=0與圓相切時，
圓心（

1

4

，

1

4

）到直線的距離d=

| 1 2 -z|

=

1

2

，
解得z=

1+ 2

2

或z=

1- 2

2

（舍去）
∴|AM|+|AN|的最大值是

1+ 2

2

．
故答案為：

1+ 2

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)題意將條件轉(zhuǎn)化為直線和圓的位置分析是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合此類問題的常用方法．