Question

5．設函數f（x）=x-$\frac{1}{x}$，g（x）=lnx．
（Ⅰ）求函數y=2f（x）-5g（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）記過函數y=f（x）-mg（x）兩個極值點A，B的直線的斜率為h（m），問函數y=h（m）+2m-2是否存在零點，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求導，根據導數與函數單調性的關系，即可求得函數的單調區(qū)間；
（2）求導，構造輔助函數，根據二次函數的性質及韋達定理，求得直線AB斜率，由題意函數存在零點即$\frac{{ln{x_1}-ln{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=2$有解，兩根均為正且x₁x₂=1，設$q（x）=x-\frac{1}{x}-lnx$，求導，q（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，q（x）＞q（1）=0，則函數y=h（m）+2m-2沒有零點．

解答 解：（Ⅰ）$y=2f（x）-5g（x）=2x-\frac{2}{x}-5lnx$，x＞0，求導$y'=2+\frac{2}{x^2}-\frac{5}{x}=\frac{{2{x^2}-5x+2}}{x^2}=\frac{（2x-1）（x-2）}{x^2}$，
令y′=0，解得：x=$\frac{1}{2}$，或x=2，
當y′＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{2}$，或x＞2，當y′＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜2，…（3分）
∴函數y=2f（x）-5g（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上遞增，在$[\frac{1}{2}，2]$上遞減，在（2，+∞）上遞增．…（5分）
（Ⅱ）$y=f（x）-mg（x）=x-\frac{1}{x}-mlnx（x＞0）$，$y'=\frac{{{x^2}-mx+1}}{x^2}$，
設p（x）=x²-mx+1，設兩個極值點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），…（6分）
∵函數有兩個大于零極值點，
∴△=m²-4＞0，得m＞2且x₁+x₂=m，x₁x₂=1，
AB斜率$k=h（m）=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$=$\frac{{{x_2}-\frac{1}{x_2}-mln{x_2}-{x_1}+\frac{1}{x_1}+mln{x_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=2-m\frac{{ln{x_1}-ln{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$…（8分）
$y=h（m）+2m-2=2-m\frac{{ln{x_1}-ln{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}+2m-2=2m-m\frac{{ln{x_1}-ln{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$，
由題意函數存在零點即$\frac{{ln{x_1}-ln{x_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=2$有解，兩根均為正且x₁x₂=1，…（9分）
若x₁＜x₂，則0＜x₁＜1，x₂＞1，消元得$ln\frac{1}{x_2}-ln{x_2}=\frac{2}{x_2}-2{x_2}$整理得${x_2}-\frac{1}{x_2}-ln{x_2}=0$
令$q（x）=x-\frac{1}{x}-lnx$，則$q'（x）=1+\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{{{x^2}-x+1}}{x^2}≥0$，
∴q（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增，
∴q（x）＞q（1）=0，
∴函數y=h（m）+2m-2沒有零點．…（12分）

點評 本題考查導數的綜合應用，導數與函數單調性及極值的關系，考查導數的幾何意義，利用導數求函數切線方程，函數零點的判斷，考查轉化思想，屬于中檔題．