【題目】在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面平面，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，，是的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求平面 與平面所成的銳二面角的余弦值.

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）由面面垂直的性質(zhì)可得平面.可得 ，，結(jié)合得平面.由，可得，得到平面，從而可得結(jié)果；（2）根據(jù)直線與平面所成角的正弦值為,可求得， ，以，，所在的直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求出平面的一個(gè)法向量，結(jié)合平面的一個(gè)法向量為，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果.

（1）因?yàn)?/span>是等邊三角形，是的中點(diǎn)，

所以.

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

所以，

又因?yàn)?/span>，，

所以平面.所以.

又因?yàn)?/span>，所以.

又且，平面，所以平面.

所以.

（2）

由（1）得平面.

所以就是直線與平面所成角.

因?yàn)橹本�與平面所成角的正弦值為，即，所以.

所以，解得.則.

由（1）得，，兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)，， ，，

所以，.

令平面的法向量為，則

由得解得

令，可得平面的一個(gè)法向量為；

易知平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)平面與平面所成的銳二面角的大小為，則.

所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.

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如果：尺寸數(shù)據(jù)在內(nèi)的零件為合格品，頻率作為概率.

(1)從產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件，合格品的個(gè)數(shù)為，求的分布列與期望：

(2)為了提高產(chǎn)品合格率，現(xiàn)提出，兩種不同的改進(jìn)方案進(jìn)行試驗(yàn)，若按方案進(jìn)行試驗(yàn)后，隨機(jī)抽取件產(chǎn)品，不合格個(gè)數(shù)的期望是：若按方案試驗(yàn)后，抽取件產(chǎn)品，不合格個(gè)數(shù)的期望是，你會(huì)選擇哪個(gè)改進(jìn)方案?

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