15.如圖1所示,在邊長為4的菱形ABCD中,∠DAB=60°,點E,F(xiàn)分別是邊CD,CB的中點,EF∩AC=O,沿EF將△CEF翻折到△PEF,連接PA,PB,PD,得到如圖2所示五棱錐P-ABFED,且AP=$\sqrt{30}$,
(1)求證:BD⊥平面POA;
(2)求二面角B-AP-O的正切值.

分析 (1)證明PO⊥BD,AO⊥BD,可得BD⊥平面APO,
(2)以O(shè)為原點,OA為x軸,OF為y軸,OP為z軸,建立坐標(biāo)系,則O(0,0,0),A(3$\sqrt{3}$,0,0),P(0,0,$\sqrt{3}$),B($\sqrt{3}$,2,0),求出平面OAP的一個法向量,平面ABP的一個法向量即可

解答 證明:(1)PO⊥EF,AO⊥EF,所以EF⊥平面POA,因為BD∥EF
∴BD⊥平面POA
則PO⊥BD,又AO⊥BD,AO∩PO=O,AO?平面APO,PO?平面APO,
∴BD⊥平面APO,
(2)因為AP=$\sqrt{30}$,可證PO⊥AO,所以EF,PO,AO互相垂直
以O(shè)為原點,OA為x軸,OF為y軸,OP為z軸,建立坐標(biāo)系,
則O(0,0,0),A(3$\sqrt{3}$,0,0),P(0,0,$\sqrt{3}$),B($\sqrt{3}$,2,0),
設(shè)$\overrightarrow{n}$=(x,y,z)為平面OAP的一個法向量,
則$\overrightarrow{n}$=(0,1,0),$\overrightarrow{m}$=(x,y,z)為平面ABP的一個法向量,
$\overrightarrow{AB}$=(-2$\sqrt{3}$,2,0),$\overrightarrow{AP}$=(-3$\sqrt{3}$,0,$\sqrt{3}$),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=-2\sqrt{3}x+2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=-3\sqrt{3}x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$,令x=1,則y=$\sqrt{3}$,z=3,
則$\overrightarrow{m}$=(1,$\sqrt{3}$,3)….cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$,∴tanθ=$\frac{\sqrt{30}}{3}$
∴二面角B-AP-O的正切值為$\frac{\sqrt{30}}{3}$

點評 本題考查了空間線面垂直的判定,及向量法求二面角,考查了空間問題處理的能力,屬于中檔題.

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