Question

已知在銳角三角形ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，a²+b²-6abcosC=0，且sin²C=2sinAsinB．（1）求角C的值；
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=cos（ωx-

2π

3

）-cosωx（ω＞0），且f（x）兩個(gè)相鄰最高點(diǎn)之間的距離為

π

2

，求f（A）的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象,余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）直接利用正弦定理以及余弦定理化簡(jiǎn)已知條件，然后求解C的值．
（2）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，利用已知條件求出解析式，求出位置的范圍，即可求解三角函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）a²+b²-6abcosC=0，且sin²C=2sinAsinB，
由正弦定理可知：c²=2ab，由余弦定理a²+b²-2abcosC=c²，
∴cosC=

1

2

．
∴C=

π

3

．
（2）函數(shù)f（x）=cos（ωx-

2π

3

）-cosωx=

3

sin(ωx-

π

3

)，
f（x）兩個(gè)相鄰最高點(diǎn)之間的距離為

π

2

，∴T=

π

2

，ω=4．
函數(shù)f（x）=

3

sin(4x-

π

3

)，
f(A)=

3

sin(4A-

π

3

)，

π

3

＜4A-

π

3

＜

7π

3

，
當(dāng)A=

5π

24

時(shí)，最大值為

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，三角形的解法，考查計(jì)算能力．