Question

【題目】已知為橢圓上的動點，過點作軸的垂線段， 為垂足，點滿足.

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；

（Ⅱ）若兩點分別為橢圓的左右頂點， 為橢圓的左焦點，直線與橢圓交于點，直線的斜率分別為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）動點的軌跡的方程為 （Ⅱ）

【解析】【試題分析】（1）先設(shè)，進而求得點，再依據(jù)題設(shè)條件求得，然后借助為橢圓上的點，進而消去參數(shù)從而求得動點的軌跡的方程為；（2）先求出點，再設(shè)，進而依據(jù)求出，進而借助且，及在和都是單調(diào)減函數(shù)，求出的范圍為：

解：（Ⅰ）設(shè)依題意，且，

∵,即,

則有.

又∵為橢圓上的點，

可得，即，

即動點的軌跡的方程為.

（Ⅱ）依題意，設(shè)

∵為圓的直徑，則有，故的斜率滿足，

，

∵點不同于兩點且直線的斜率存在，故且，

在和都是單調(diào)減函數(shù)，

的范圍為，

故 .