Question

9．在平面直角坐標系中，曲線C₁的方程為（x-2）²+y²=4．以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ=2，射線C₃的極坐標方程為$θ=\frac{π}{4}（ρ＞0）$．
（1）將曲線C₁的直角坐標方程化為極坐標方程；
（2）若射線C₃與曲線C₁、C₂分別交于點A、B，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）曲線C₁的方程轉(zhuǎn)化為x²+y²-4x=0，將x²+y²=ρ²，x=ρcosθ代入，能求出曲線C₁的極坐標方程．
（2）設點A、B對應的極徑分別為ρ_A、ρ_B，求出ρ_B=2，${ρ_A}=2\sqrt{2}$，從而得到$|AB|=|{ρ_A}-{ρ_B}|=2\sqrt{2}-2$．

解答 解：（1）∵曲線C₁的方程為（x-2）²+y²=4，即x²+y²-4x=0，
將x²+y²=ρ²，x=ρcosθ代入上式，
得曲線C₁的極坐標方程：ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．…（6分）
（2）設點A、B對應的極徑分別為ρ_A、ρ_B，
∵曲線C₂的極坐標方程為ρ=2，射線C₃的極坐標方程為$θ=\frac{π}{4}（ρ＞0）$．
射線C₃與曲線C₁、C₂分別交于點A、B，∴ρ_B=2，
將$θ=\frac{π}{4}（ρ＞0）$代入ρ=4cosθ，得：${ρ_A}=2\sqrt{2}$，
∴$|AB|=|{ρ_A}-{ρ_B}|=2\sqrt{2}-2$．…（12分）

點評 本題考查曲線的極坐標方程的求法，考查弦長的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．