Question

已知

a

=（cosωx，0），

b

=（

3

sinωx，1）（ω＞0），定義函數f（x）=

a

•（

b

-

a

），且y=f（x）的周期為π．
（1）求f（x）的最大值；
（2）若x∈[

π

12

，

7π

12

]，求滿足f（x）=

3 -1

2

的x值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,平面向量的綜合題,由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：計算題,函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（1）求出向量a，b的數量積，運用二倍角公式和兩角差的正弦公式，化簡f（x），再由周期公式，得到f（x）的解析式，由正弦函數的值域，即可得到最大值；
（2）由x的范圍，求得2x-

π

6

∈[0，π]，再由方程sin（2x-

π

6

）=

3

2

，即可解得x的值．

解答： 解：（1）∵

a

=（cosωx，0），

b

=（

3

sinωx，1），
∴

a

•

b

=

3

sinωxcosωx+0×1=

3

2

sin2ωx
即有f（x）=

a

•（

b

-

a

）=

a

•

b

-

a

2=

3

2

sin2ωx-cos²ωx
=

3

2

sin2ωx-

1+cos2ωx

2

=

3

2

sin2ωx-

1

2

cos2ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

，
又函數f（x）的周期為π，則

2π

2ω

=π，即有ω=1，
則有f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，∵-1≤sin（2x-

π

6

）≤1，
∴f（x）的最大值為1-

1

2

=

1

2

；
（2）令sin（2x-

π

6

）-

1

2

=

3 -1

2

，
即有sin（2x-

π

6

）=

3

2

，
∵x∈[

π

12

，

7π

12

]，∴2x∈[

π

6

，

7π

6

]，2x-

π

6

∈[0，π]
即有2x-

π

6

=

π

3

或

2π

3

，
則x=

π

4

或x=

5π

12

．

點評：本題考查平面向量的數量積的坐標表示和性質，考查三角函數的性質和運用，考查運算能力，屬于中檔題．