【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域為{x|x∈R，且x≠0}，對定義域內的任意x1、x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且當x>1時，f(x)>0.
(1)求證：f(x)是偶函數(shù)；
(2)求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】證明： (1)因對定義域內的任意x1、x2都有
f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，
令x1＝x，x2＝－1，
則有f(－x)＝f(x)＋f(－1)．
又令x1＝x2＝－1，得2f(－1)＝f(1)．
再令x1＝x2＝1，得f(1)＝0，
從而f(－1)＝0，
于是有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)．
(2)設0<x1<x2，
則f(x1)－f(x2)＝f(x1)－f(x1·
)＝f(x1)－[f(x1)＋f(
)]＝－f(
)，
由于0<x1<x2，所以
>1，從而f(
)>0，
故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．
53天天練系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】數(shù)列{an}滿足a1= 
，an+1﹣1=an（an﹣1）（n∈N*）且Sn= 
+ 
+…+ 
，則Sn的整數(shù)部分的所有可能值構成的集合是（ ）
A.{0，1，2}
B.{0，1，2，3}
C.{1，2}
D.{0，2}
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知f(x)＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a≥0)．
(1)將f(x)表示成u(其中u＝
)的函數(shù)；
(2)求f(x)的最小值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設集合A=[0， 
），B=[ ，1]，函數(shù)f （x）= 
，若x0∈A，且f[f （x0）]∈A，則x0的取值范圍是（ ）
A.（0， 
]
B.[ ， ]
C.（ ， ）
D.[0， 
]
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上的偶函數(shù)，且它在[0，+∞）上單調遞增，若a=f（ 
），b=f（ 
），c=f（﹣2），則a，b，c的大小關系是（從小到大排）
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點D是⊙O上一點，過點D作⊙O的切線，交AB的延長線于點C，過點C作AC的垂線，交AD的延長線于點E． 
（1）求證：△CDE為等腰三角形；
（2）若AD=2， 
= 
，求⊙O的面積．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】給定橢圓
，稱圓
為橢圓
的“伴隨圓”.已知點
是橢圓
上的點
（1）若過點
的直線
與橢圓
有且只有一個公共點，求
被橢圓
的伴隨圓
所截得的弦長：
（2）
是橢圓
上的兩點，設
是直線
的斜率，且滿足
，試問：直線
是否過定點，如果過定點，求出定點坐標，如果不過定點，試說明理由。
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